Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{\frac{3 - x}{5 - x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{3 - x}{5 - x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{3 - x}{5 - x} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 - x = 0$

$5 - x = 0$

Этап 2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 2.4

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 5$

Этап 2.5

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 2.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 3$

$x = 5$

Этап 2.7

Объединим решения.

$x = 3, 5$

Этап 2.8

Найдем область определения $\frac{3 - x}{5 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 - x}{5 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 - x = 0$

Этап 2.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 5$

Этап 2.8.2.2

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.8.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 2.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Этап 2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Проверим значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 - (0)}{5 - (0)} \geq 0$

Этап 2.10.1.3

Левая часть $0.6$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.10.2

Проверим значение на интервале $3 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.10.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 - (4)}{5 - (4)} \geq 0$

Этап 2.10.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.10.3

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 2.10.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 - (8)}{5 - (8)} \geq 0$

Этап 2.10.3.3

Левая часть $1.\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 3$ Истина

$3 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

$x < 3$ Истина

$3 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

Этап 2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 3$ или $x > 5$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{3 - x}{5 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 - x = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 5$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 3] \cup (5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 3, x > 5}$

Этап 6