Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ в виде уравнения.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = 7 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = 7 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{y + 8} = 7 x$

Этап 3.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y + 8}}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Этап 3.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y + 8}$ в виде ${(y + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Этап 3.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Этап 3.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 8)}^{1} = {(7 x)}^{3}$

Этап 3.5.2.1.2

Упростим.

$y + 8 = {(7 x)}^{3}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим ${(7 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Применим правило умножения к $7 x$ .

$y + 8 = 7^{3} x^{3}$

Этап 3.5.3.1.2

Возведем $7$ в степень $3$ .

$y + 8 = 343 x^{3}$

Этап 3.6

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$y = 343 x^{3} - 8$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$ обратной к $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 {(\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7})}^{3} - 8$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{3}}{7^{3}}) - 8$

Этап 5.2.3.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x + 8}}^{3}$ в виде $x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 8}$ в виде ${(x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{({(x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7^{3}}) - 8$

Этап 5.2.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7^{3}}) - 8$

Этап 5.2.3.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 8$

Этап 5.2.3.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 8$

Этап 5.2.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{7^{3}}) - 8$

Этап 5.2.3.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{7^{3}}) - 8$

Этап 5.2.3.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{343}) - 8$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $343$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{343}) - 8$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x + 8 - 8$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 8 - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (343 x^{3} - 8)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{(343 x^{3} - 8) + 8}}{7}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3} + 0}}{7}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $343 x^{3}$ и $0$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3}}}{7}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $343 x^{3}$ в виде ${(7 x)}^{3}$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{{(7 x)}^{3}}}{7}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{7 x}{7}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{7 x}{7}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (343 x^{3} - 8) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$ — обратная к $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$