Основы мат. анализа Примеры

vertices at $(6, 0)$ , $(- 6, 0)$ ; foci at $(8, 0)$ , $(- 8, 0)$

Этап 1

Определим центр $(h, k)$ , найдя среднюю точку заданных вершин.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу медианы, чтобы найти середину отрезка прямой.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Этап 1.2

Подставим значения вместо $(x_{1}, y_{1})$ и $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{- 6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $- 6 + 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$(\frac{2 \cdot - 3 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$(\frac{2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3$ .

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Этап 1.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 (1)}, \frac{0 + 0}{2})$

Этап 1.3.4.2

Сократим общий множитель.

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 \cdot 1}, \frac{0 + 0}{2})$

Этап 1.3.4.3

Перепишем это выражение.

$(\frac{- 3 + 3}{1}, \frac{0 + 0}{2})$

Этап 1.3.4.4

Разделим $- 3 + 3$ на $1$ .

$(- 3 + 3, \frac{0 + 0}{2})$

Этап 1.4

Добавим $- 3$ и $3$ .

$(0, \frac{0 + 0}{2})$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $0 + 0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$(0, \frac{2 (0) + 0}{2})$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$(0, \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2})$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ .

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2})$

Этап 1.5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (1)})$

Этап 1.5.4.2

Сократим общий множитель.

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 \cdot 1})$

Этап 1.5.4.3

Перепишем это выражение.

$(0, \frac{0 + 0}{1})$

Этап 1.5.4.4

Разделим $0 + 0$ на $1$ .

$(0, 0 + 0)$

Этап 1.6

Добавим $0$ и $0$ .

$(0, 0)$

Этап 2

Отметим на графике центр и заданные фокусы с вершинами. Так как эти точки лежат на горизонтальной прямой, ветви гиперболы простираются налево и направо, а уравнение гиперболы имеет вид $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Этап 3

Найдем $a$ , вычислив расстояние между вершиной и центром.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 3.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$a = \sqrt{{((- 6) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $0$ из $- 6$ .

$a = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $0$ из $0$ .

$a = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Этап 3.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$a = \sqrt{36 + 0}$

Этап 3.3.5

Добавим $36$ и $0$ .

$a = \sqrt{36}$

Этап 3.3.6

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$a = \sqrt{6^{2}}$

Этап 3.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$a = 6$

Этап 4

Найдем $c$ , вычислив расстояние между фокусом и центром.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 4.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$c = \sqrt{{((- 8) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $0$ из $- 8$ .

$c = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{64 + {(0 - 0)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Вычтем $0$ из $0$ .

$c = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Этап 4.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$c = \sqrt{64 + 0}$

Этап 4.3.5

Добавим $64$ и $0$ .

$c = \sqrt{64}$

Этап 4.3.6

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$c = \sqrt{8^{2}}$

Этап 4.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$c = 8$

Этап 5

Подставим значения $a$ и $c$ в $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ и решим относительно $b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $8$ вместо $c$ , а $6$ вместо $a$ .

$8^{2} = 6^{2} + b^{2}$

Этап 5.2

Перепишем уравнение в виде $6^{2} + b^{2} = 8^{2}$ .

$6^{2} + b^{2} = 8^{2}$

Этап 5.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$36 + b^{2} = 8^{2}$

Этап 5.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$36 + b^{2} = 64$

Этап 5.5

Перенесем все члены без $b^{2}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$b^{2} = 64 - 36$

Этап 5.5.2

Вычтем $36$ из $64$ .

$b^{2} = 28$

Этап 6

Подставим найденные значения в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим найденные значения в формулу.

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

Этап 6.2

Объединим противоположные члены в $\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

Этап 6.2.2

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

Этап 6.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

Этап 7