Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ не определено.

$x = - 2, x = 2$

Этап 2

Поскольку $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ слева, а $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ справа, то $x = - 2$ — вертикальная асимптота.

$x = - 2$

Этап 3

Поскольку $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $2$ слева, а $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $2$ справа, то $x = 2$ — вертикальная асимптота.

$x = 2$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 2, 2$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Этап 8.1.1.2

Умножим на $1$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}{x^{2} - 4}$

Этап 8.1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{x^{2} - 4}$

Этап 8.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 8.1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.2

Развернем $x^{2} (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.2.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2 + 1} + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.2.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x^{3} + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.2.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.3

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x (x - 2) + 2 (x - 2)}$

Этап 8.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}$

Этап 8.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.3.4

Изменим порядок $x$ и $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.3.9

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}$

Этап 8.3.10

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} + 0 - 4}$

Этап 8.3.11

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Этап 8.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.6

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Этап 8.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 0 - 4 x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Этап 8.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

Этап 8.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Этап 8.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Этап 8.11

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Этап 8.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 - 4$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Этап 8.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

$4 x$

$4$

Этап 8.14

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + 1 + \frac{4 x + 4}{x^{2} - 4}$

Этап 8.15

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x + 1$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 2, 2$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x + 1$

Этап 10