Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \ln (| x + 1 |)$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (| x + 1 |)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$| x + 1 | > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $| x + 1 | > 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x + 1 \geq 0$

Этап 2.1.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 2.1.3

В части, где $x + 1$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x + 1 > 0$

Этап 2.1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x + 1 < 0$

Этап 2.1.5

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x < - 1$

Этап 2.1.6

В части, где $x + 1$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (x + 1) > 0$

Этап 2.1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x + 1 > 0 & x \geq - 1 \\ - (x + 1) > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Этап 2.1.8

Упростим $- (x + 1) > 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} x + 1 > 0 & x \geq - 1 \\ - x - 1 \cdot 1 > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Этап 2.1.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

${\begin{cases} x + 1 > 0 & x \geq - 1 \\ - x - 1 > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x > - 1$

Этап 2.3

Решим $- x - 1 > 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$- x > 1$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $- x > 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $- x > 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x < - 1$

Этап 2.4

Найдем объединение решений.

$x < - 1$ или $x > - 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 1}$

Этап 4