Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ в виде уравнения.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

Этап 3.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{y}}^{7}$ в виде $\sqrt[3]{y^{7}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

Этап 3.1.2.2

Перепишем $y^{7}$ в виде ${(y^{2})}^{3} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Вынесем $y^{6}$ за скобки.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

Этап 3.1.2.2.2

Перепишем $y^{6}$ в виде ${(y^{2})}^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

Этап 3.1.3

Возведем $4$ в степень $7$ .

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

Этап 3.2

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ .

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

Этап 3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $16384$ .

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Этап 3.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим $16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Сократим общий множитель $16384$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Этап 3.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

Этап 3.5.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Этап 3.5.1.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Этап 3.5.1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Этап 3.5.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

Этап 3.5.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

Этап 3.5.1.2.5.2

Добавим $6$ и $1$ .

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

Этап 3.6

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{7}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Упростим ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7.1.1.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7.1.1.2

Упростим.

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим ${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $16384 x$ .

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7.2.1.1.2

Перепишем $16384$ в виде $4^{7}$ .

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7.2.1.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7.2.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

Этап 3.7.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ обратной к $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

Этап 5.2.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

Этап 5.2.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

Этап 5.2.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

Этап 5.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

Этап 5.2.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Этап 5.2.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Этап 5.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Этап 5.2.4.5

Упростим.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Этап 5.2.5

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Этап 5.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем $64 x^{\frac{3}{7}}$ в виде ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Этап 5.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Этап 5.3.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Разделим $x^{\frac{1}{7}}$ на $1$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Этап 5.3.4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Этап 5.3.4.2.2.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Этап 5.3.4.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ — обратная к $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$