Основы мат. анализа Примеры

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $400$ к обеим частям уравнения.

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- 25 x^{2} + 200 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $200$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $200$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{100}{- 25}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $100$ и $- 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $100$ .

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$d = - 4$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $200$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 25$ .

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $40000$ на $- 100$ .

$e = 0 - - 400$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 400$ .

$e = 0 + 400$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $400$ .

$e = 400$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

Этап 1.3

Подставим $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ вместо $- 25 x^{2} + 200 x$ в уравнение $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Этап 1.4

Перенесем $400$ в правую часть уравнения, прибавив $400$ к обеим частям.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $9 y^{2} - 90 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 90$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 90$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 45}{9}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 45$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 45$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 5}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$d = - 5$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 90$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $8100$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $225$ .

$e = 0 - 225$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $225$ из $0$ .

$e = - 225$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ .

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

Этап 1.6

Подставим $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ вместо $9 y^{2} - 90 y$ в уравнение $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

Этап 1.7

Перенесем $- 225$ в правую часть уравнения, прибавив $225$ к обеим частям.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

Этап 1.8

Упростим $400 - 400 + 225$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вычтем $400$ из $400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

Этап 1.8.2

Добавим $0$ и $225$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $225$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения значений, требуемых для нахождения асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

Этап 4

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Этап 5

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Этап 5.2

Упростим $\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Этап 5.2.1.3

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Этап 5.2.1.4

Умножим $\frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

Этап 5.2.1.4.2

Умножим $5$ на $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

Этап 5.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.3

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $5$ на $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $- 20$ и $15$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Этап 5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

Этап 6

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Этап 6.2

Упростим $- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Этап 6.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

Этап 6.2.1.4.2

Объединим $4$ и $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

Этап 6.2.1.4.3

Умножим $4$ на $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Этап 6.2.1.5

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.2.3

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $5$ на $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

Этап 6.2.5.2

Добавим $20$ и $15$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Этап 7

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Этап 8

Асимптоты: $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ и $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ .

Асимптоты: $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Этап 9