Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x + 1$ $g (x) = x^{2} + 5 x + 10$ Find: $g (f (x))$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g (f (x))$

Этап 2

Найдем значение $g (2 x + 1)$ , подставив значение $f$ в $g$ .

$g (2 x + 1) = {(2 x + 1)}^{2} + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(2 x + 1)}^{2}$ в виде $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$g (2 x + 1) = (2 x + 1) (2 x + 1) + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.2

Развернем $(2 x + 1) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (2 x + 1) = 2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1) + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g (2 x + 1) = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1) + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g (2 x + 1) = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$g (2 x + 1) = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$g (2 x + 1) = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$g (2 x + 1) = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.3.1.5

Умножим $2 x$ на $1$ .

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 4 x + 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 4 x + 1 + 5 (2 x) + 5 \cdot 1 + 10$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $5$ .

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 4 x + 1 + 10 x + 5 \cdot 1 + 10$

Этап 3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 4 x + 1 + 10 x + 5 + 10$

Этап 4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $4 x$ и $10 x$ .

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 14 x + 1 + 5 + 10$

Этап 4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ и $5$ .

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 14 x + 6 + 10$

Этап 4.2.2

Добавим $6$ и $10$ .

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 14 x + 16$