Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) - 3 x = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{2}) + x (- 5 x)$ .

$x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$x (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$x (2 x^{2} + x - 6 x - 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$x ((2 x + 1) (x - 3)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (2 x + 1) (x - 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 2.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 x + 1) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 3$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Этап 2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 \geq 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $- 90$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.25$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $- 0.25$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} - 3 \cdot - 0.25 \geq 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $0.40625$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.9.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

Этап 2.9.3.3

Левая часть $- 10$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.9.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$2 {(6)}^{3} - 5 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

Этап 2.9.4.3

Левая часть $234$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 0$ или $x \geq 3$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 0, x \geq 3}$

Этап 4