Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 6}{x^{3} - 3 x^{2} - 16 x + 48}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{3} - 3 x^{2} - 16 x + 48}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} - 3 x^{2} - 16 x + 48 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 16 x + 48 = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (x - 3) - 16 (x - 3) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 16) = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x - 3) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) (x + 4) (x - 4) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.4

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 4) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 3, - 4, 4$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 3, 4, - 4}$

Этап 4