Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - y^{2} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = y^{2}$

Этап 2.2

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| x | = | y |$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm | y |$

Этап 2.3.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = | y |$

Этап 2.3.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - | y |$

Этап 2.3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2 y$ и $c = y^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ в виде ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = - 2 y$ и $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.1.2

Вынесем множитель $2 y$ из $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.1.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.3.1

Умножим $0$ на $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.3.2

Умножим $0$ на $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.4

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.4.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.5

Умножим $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.6

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.7.1

Умножим $0$ на $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3.7.2

Умножим $0$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.6

$2 y$ плюс или минус $0$ равно $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 y}{2}$

Этап 4.3.3.2

Разделим $y$ на $1$ .

$x = y$

Этап 4.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

Двойные корни $x = y$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$5 x + 10 y = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $10 y$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 10 y$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $5 x = - 10 y$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 10 y$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 10 y}{5}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Сократим общий множитель $- 10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 10 y$ .

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5}$

Этап 6.2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 (1)}$

Этап 6.2.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 \cdot 1}$

Этап 6.2.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 2 y}{1}$

Этап 6.2.2.3.1.2.4

Разделим $- 2 y$ на $1$ .

$x = - 2 y$

Этап 7

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$