Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x + 1$ $g (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$ Find: $((g \circ f)) (x)$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g (f (x))$

Этап 2

Найдем значение $g (x + 1)$ , подставив значение $f$ в $g$ .

$g (x + 1) = 2 {(x + 1)}^{2} - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$g (x + 1) = 2 ((x + 1) (x + 1)) - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (x + 1) = 2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g (x + 1) = 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g (x + 1) = 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$g (x + 1) = 2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$g (x + 1) = 2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$g (x + 1) = 2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$g (x + 1) = 2 (x^{2} + x + x + 1) - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$g (x + 1) = 2 (x^{2} + 2 x + 1) - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x + 1) - 1$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x - 2 \cdot 1 - 1$

Этап 3.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x - 2 - 1$

Этап 4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x - 2 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 0 - 1$

Этап 4.1.2

Добавим $2 x^{2} + 4 x - 2 x$ и $0$ .

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x - 2 x - 1$

Этап 4.2

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$g (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x - 1$