Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 5 \sqrt{x}$ в виде уравнения.

$y = 5 \sqrt{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 5 \sqrt{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $5 \sqrt{y} = x$ .

$5 \sqrt{y} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $5 \sqrt{y} = x$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $5 \sqrt{y} = x$ на $5$ .

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\sqrt{y}$ на $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{5}$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{5}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5^{2}}$

Этап 3.4.3.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{25}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ обратной к $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (5 \sqrt{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{25}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $5 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Этап 5.2.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25}$

Этап 5.2.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25}$

Этап 5.2.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Этап 5.2.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Этап 5.2.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Этап 5.2.3.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{25})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Этап 5.3.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.5

Перепишем $\frac{x^{2}}{5^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ — обратная к $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$