Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{\sqrt{x^{2}} - 1}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} \geq 0$

Этап 2

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\sqrt{x^{2}} - 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt{x^{2}} - 1 \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$\sqrt{x^{2}} \geq 1$

Этап 4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x^{2}}}^{2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{2}}$ .

${(x^{\frac{2}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.2

Разделим $2$ на $2$ .

${(x^{1})}^{2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{1 \cdot 2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{2} \geq 1^{2}$

Этап 4.3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$x^{2} \geq 1$

Этап 4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}$

Этап 4.4.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{1}$

Этап 4.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | \geq 1$

Этап 4.4.3

Запишем $| x | \geq 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 4.4.3.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq 1$

Этап 4.4.3.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 4.4.3.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 1$

Этап 4.4.3.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 1 & x \geq 0 \\ - x \geq 1 & x < 0 \end{cases}$

Этап 4.4.4

Найдем пересечение $x \geq 1$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 1$

Этап 4.4.5

Разделим каждый член $- x \geq 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Разделим каждый член $- x \geq 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.4.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{1}{- 1}$

Этап 4.4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x \leq - 1$

Этап 4.4.6

Найдем объединение решений.

$x \leq - 1$ или $x \geq 1$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Этап 6