Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{1 - \tan (x)}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{1 - \tan (x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - \tan (x) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 2.6

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 2.6.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 2.7

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.7.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Зададим аргумент в $\tan (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x \neq \frac{π}{4} + π n, x \neq \frac{π}{2} + π n}$ , для любого целого $n$

Этап 5