Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{5} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{5} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения значений, требуемых для нахождения асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{5}$

$k = 1$

$h = 0$

Этап 4

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} x + 1$

Этап 5

Объединим $\frac{\sqrt{5}}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x}{3} + 1$

Этап 6

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{5}}{3} + 1$

Этап 7

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{3} + 1, y = - \frac{x \sqrt{5}}{3} + 1$

Этап 8

Асимптоты: $y = \frac{\sqrt{5} x}{3} + 1$ и $y = - \frac{x \sqrt{5}}{3} + 1$ .

Асимптоты: $y = \frac{\sqrt{5} x}{3} + 1, y = - \frac{x \sqrt{5}}{3} + 1$

Этап 9