Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{2} - 2 x - 13$ $g (x) = - x - 3$ Find: $f (g (x))$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (g (x))$

Этап 2

Найдем значение $f (- x - 3)$ , подставив значение $g$ в $f$ .

$f (- x - 3) = {(- x - 3)}^{2} - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(- x - 3)}^{2}$ в виде $(- x - 3) (- x - 3)$ .

$f (- x - 3) = (- x - 3) (- x - 3) - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.2

Развернем $(- x - 3) (- x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- x - 3) = - x (- x - 3) - 3 (- x - 3) - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- x - 3) = - x (- x) - x \cdot - 3 - 3 (- x - 3) - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- x - 3) = - x (- x) - x \cdot - 3 - 3 (- x) - 3 \cdot - 3 - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (- x - 3) = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 3 - 3 (- x) - 3 \cdot - 3 - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f (- x - 3) = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 3 - 3 (- x) - 3 \cdot - 3 - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (- x - 3) = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 3 - 3 (- x) - 3 \cdot - 3 - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- x - 3) = 1 x^{2} - x \cdot - 3 - 3 (- x) - 3 \cdot - 3 - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x - 3) = x^{2} - x \cdot - 3 - 3 (- x) - 3 \cdot - 3 - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (- x - 3) = x^{2} + 3 x - 3 (- x) - 3 \cdot - 3 - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- x - 3) = x^{2} + 3 x + 3 x - 3 \cdot - 3 - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.3.1.7

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f (- x - 3) = x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$f (- x - 3) = x^{2} + 6 x + 9 - 2 (- x - 3) - 13$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- x - 3) = x^{2} + 6 x + 9 - 2 (- x) - 2 \cdot - 3 - 13$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- x - 3) = x^{2} + 6 x + 9 + 2 x - 2 \cdot - 3 - 13$

Этап 3.6

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$f (- x - 3) = x^{2} + 6 x + 9 + 2 x + 6 - 13$

Этап 4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $6 x$ и $2 x$ .

$f (- x - 3) = x^{2} + 8 x + 9 + 6 - 13$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $9$ и $6$ .

$f (- x - 3) = x^{2} + 8 x + 15 - 13$

Этап 4.2.2

Вычтем $13$ из $15$ .

$f (- x - 3) = x^{2} + 8 x + 2$