Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2}$ не определено.

$x = - 2$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x + 2}$

Этап 5.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2}$

Этап 5.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x + 2}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x + 2}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Этап 5.2.4

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Этап 5.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Этап 5.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Этап 5.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Этап 5.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Этап 5.2.9

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Этап 5.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x + 2}$

Этап 5.2.11

Добавим $- 1 x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{x + 2}$

Этап 5.2.12

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x + 2}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 2 x$ .

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	-	$4$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 4$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	+	$4$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	+	$4$
							+	$3$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x - 2 + \frac{3}{x + 2}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x - 2$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 2$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x - 2$

Этап 7