Основы мат. анализа Примеры

\frac{x^{2} + x}{- 5 x - 5}

$\frac{x^{2} + x}{- 5 x - 5}$

Этап 1

Найдем, где выражение

\frac{x^{2} + x}{- 5 x - 5}

$\frac{x^{2} + x}{- 5 x - 5}$ не определено.

x = - 1

$x = - 1$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где

n

$n$ — степень числителя, а

m

$m$ — степень знаменателя.

1. Если

n < m

$n < m$ , тогда ось x,

y = 0

$y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если

n = m

$n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Если

n > m

$n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем

n

$n$ и

m

$m$ .

n = 2

$n = 2$

m = 1

$m = 1$

Этап 5

Поскольку

n > m

$n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{2} + x

$x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{x \cdot x + x}{- 5 x - 5}

$\frac{x \cdot x + x}{- 5 x - 5}$

Этап 6.1.1.2

Возведем

x

$x$ в степень

1

$1$ .

\frac{x \cdot x + x^{1}}{- 5 x - 5}

$\frac{x \cdot x + x^{1}}{- 5 x - 5}$

Этап 6.1.1.3

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{1}

$x^{1}$ .

\frac{x \cdot x + x \cdot 1}{- 5 x - 5}

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1}{- 5 x - 5}$

Этап 6.1.1.4

Вынесем множитель

x

$x$ из

x \cdot x + x \cdot 1

$x \cdot x + x \cdot 1$ .

\frac{x (x + 1)}{- 5 x - 5}

$\frac{x (x + 1)}{- 5 x - 5}$

\frac{x (x + 1)}{- 5 x - 5}

$\frac{x (x + 1)}{- 5 x - 5}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель

5

$5$ из

- 5 x - 5

$- 5 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель

5

$5$ из

- 5 x

$- 5 x$ .

\frac{x (x + 1)}{5 (- x) - 5}

$\frac{x (x + 1)}{5 (- x) - 5}$

Этап 6.1.2.2

Вынесем множитель

5

$5$ из

- 5

$- 5$ .

\frac{x (x + 1)}{5 (- x) + 5 (- 1)}

$\frac{x (x + 1)}{5 (- x) + 5 (- 1)}$

Этап 6.1.2.3

Вынесем множитель

5

$5$ из

5 (- x) + 5 (- 1)

$5 (- x) + 5 (- 1)$ .

\frac{x (x + 1)}{5 (- x - 1)}

$\frac{x (x + 1)}{5 (- x - 1)}$

\frac{x (x + 1)}{5 (- x - 1)}

$\frac{x (x + 1)}{5 (- x - 1)}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель

x + 1

$x + 1$ и

- x - 1

$- x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

x

$x$ .

\frac{x (- 1 (- x) + 1)}{5 (- x - 1)}

$\frac{x (- 1 (- x) + 1)}{5 (- x - 1)}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем

1

$1$ в виде

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ .

\frac{x (- 1 (- x) - 1 (- 1))}{5 (- x - 1)}

$\frac{x (- 1 (- x) - 1 (- 1))}{5 (- x - 1)}$

Этап 6.1.3.3

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

- 1 (- x) - 1 (- 1)

$- 1 (- x) - 1 (- 1)$ .

\frac{x (- 1 (- x - 1))}{5 (- x - 1)}

$\frac{x (- 1 (- x - 1))}{5 (- x - 1)}$

Этап 6.1.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- 1 (- x - 1))}{5 (- x - 1)}$

Этап 6.1.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cdot (- 1)}{5}$

Этап 6.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Перенесем

$- 1$ влево от

$x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{5}$

Этап 6.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{5}$

Этап 6.2

Изменим знак

$x$ на противоположный.

$\frac{- x}{5}$

Этап 6.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением

$0$ .

$5$

$x$

$0$

Этап 6.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом

$- x$ на член с максимальной степенью в делителе

$5$ .

		-	$\frac{x}{5}$
	$5$	-	$x$	+	$0$

Этап 6.5

Умножим новое частное на делитель.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	-	$x$

Этап 6.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

$- x$ .

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$

Этап 6.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$
		$0$

Этап 6.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$
		$0$	+	$0$

Этап 6.9

Поскольку остаток равен

$0$ , окончательным ответом является частное.

$- \frac{x}{5}$

Этап 6.10

Так как при делении многочленов нет полиномиальной части, наклонные асимптоты отсутствуют.

Нет наклонных асимптот

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Этап 8