Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} + x}{- 5 x - 5}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} + x}{- 5 x - 5}$ не определено.

$x = - 1$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + x}{- 5 x - 5}$

Этап 6.1.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x + x^{1}}{- 5 x - 5}$

Этап 6.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1}{- 5 x - 5}$

Этап 6.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{x (x + 1)}{- 5 x - 5}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$\frac{x (x + 1)}{5 (- x) - 5}$

Этап 6.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{x (x + 1)}{5 (- x) + 5 (- 1)}$

Этап 6.1.2.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (- x) + 5 (- 1)$ .

$\frac{x (x + 1)}{5 (- x - 1)}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $x + 1$ и $- x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{x (- 1 (- x) + 1)}{5 (- x - 1)}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x (- 1 (- x) - 1 (- 1))}{5 (- x - 1)}$

Этап 6.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{x (- 1 (- x - 1))}{5 (- x - 1)}$

Этап 6.1.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- 1 (- x - 1))}{5 (- x - 1)}$

Этап 6.1.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cdot (- 1)}{5}$

Этап 6.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{5}$

Этап 6.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{5}$

Этап 6.2

Изменим знак $x$ на противоположный.

$\frac{- x}{5}$

Этап 6.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5$

$x$

$0$

Этап 6.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $5$ .

		-	$\frac{x}{5}$
	$5$	-	$x$	+	$0$

Этап 6.5

Умножим новое частное на делитель.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	-	$x$

Этап 6.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x$ .

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$

Этап 6.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$
		$0$

Этап 6.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$
		$0$	+	$0$

Этап 6.9

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- \frac{x}{5}$

Этап 6.10

Так как при делении многочленов нет полиномиальной части, наклонные асимптоты отсутствуют.

Нет наклонных асимптот

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Этап 8