Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 8 x^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 8 x^{3}$ в виде уравнения.

$y = 8 x^{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 8 y^{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $8 y^{3} = x$ .

$8 y^{3} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $8 y^{3} = x$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $8 y^{3} = x$ на $8$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\frac{x}{8}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем полную степень $1^{3}$ из $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем полную степень $2^{3}$ из $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}}$

Этап 3.4.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x}$

Этап 3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

Этап 3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt[3]{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ обратной к $f (x) = 8 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (8 x^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3}$

Этап 5.3.3

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}})$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Этап 5.3.4.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Этап 5.3.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ — обратная к $f (x) = 8 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$