Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$ не определено.

$x = - 3, x = 1$

Этап 2

Поскольку $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $1$ слева, а $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ справа, то $x = 1$ — вертикальная асимптота.

$x = 1$

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 6.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 6.1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} (x + 3)}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 6.1.2

Разложим $x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 6.1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

Этап 6.2

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 6.3

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 6.4

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 6.5

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 6.6

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Этап 6.7

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Этап 6.8

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Этап 6.9

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

Этап 6.10

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

Этап 6.11

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

Этап 6.12

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

Этап 6.13

Разобьем решение на многочлен и остаток.

$x + 1 + \frac{x + 3}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 6.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x + 1$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x + 1$

Этап 8