Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{x + 9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{x + 9}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{x + 9}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{y + 9}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{y + 9} = x$ .

$\sqrt{y + 9} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y + 9}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 9}$ в виде ${(y + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 9)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$y + 9 = x^{2}$

Этап 3.4

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$y = x^{2} - 9$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$ обратной к $f (x) = \sqrt{x + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{x + 9})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(\sqrt{x + 9})}^{2} - 9$

Этап 5.2.3

Перепишем ${\sqrt{x + 9}}^{2}$ в виде $x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 9}$ в виде ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9$

Этап 5.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9$

Этап 5.2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} - 9$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} - 9$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = (x + 9) - 9$

Этап 5.2.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x + 9 - 9$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 9 - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{2} - 9)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{(x^{2} - 9) + 9}$

Этап 5.3.3

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Этап 5.3.4

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (x^{2} - 9) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$ — обратная к $f (x) = \sqrt{x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$