Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x}{1 + x}$ , $f (f (x))$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f (x))$

Этап 2

Найдем значение $f (\frac{x}{1 + x})$ , подставив значение $f$ в $f$ .

$f (\frac{x}{1 + x}) = \frac{\frac{x}{1 + x}}{1 + \frac{x}{1 + x}}$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$f (\frac{x}{1 + x}) = \frac{\frac{x}{1 + x}}{1 + \frac{x}{1 + x}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x}{1 + x}) = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x}{1 + x}}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{x}{1 + x}) = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{1}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x}{1 + x}}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x}{1 + x}) = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{1}{\frac{1 + x + x}{1 + x}}$

Этап 5.3

Добавим $x$ и $x$ .

$f (\frac{x}{1 + x}) = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 x}{1 + x}}$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x}{1 + x}) = \frac{x}{1 + x} \cdot (1 (\frac{1 + x}{1 + 2 x}))$

Этап 7

Умножим $\frac{1 + x}{1 + 2 x}$ на $1$ .

$f (\frac{x}{1 + x}) = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{1 + x}{1 + 2 x}$

Этап 8

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{1 + x}) = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{1 + x}{1 + 2 x}$

Этап 8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{1 + x}) = x (\frac{1}{1 + 2 x})$

Этап 9

Объединим $x$ и $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$f (\frac{x}{1 + x}) = \frac{x}{1 + 2 x}$