Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \tan (\frac{π}{2} x)$

Этап 1

Объединим $\frac{π}{2}$ и $x$ .

$y = \tan (\frac{π x}{2})$

Этап 2

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \tan (\frac{π x}{2})$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \tan (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$π x = - π$

Этап 3.2

Разделим каждый член $π x = - π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $π x = - π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- π}{π}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{- π}{π}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- π}{π}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- π}{π}$

Этап 3.2.3.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$x = - 1$

Этап 4

Приравняем аргумент $\frac{π x}{2}$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$π x = π$

Этап 5.2

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{π}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 1$

Этап 6

Основной период $y = \tan (\frac{π x}{2})$ находится на промежутке $(- 1, 1)$ , где $- 1$ и $1$ являются вертикальными асимптотами.

$(- 1, 1)$

Этап 7

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

$\frac{π}{2}$ приблизительно равно $1.57079632$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{π}{2}}$

Этап 7.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \frac{2}{π}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель.

$π \frac{2}{π}$

Этап 7.3.2

Перепишем это выражение.

$2$

Этап 8

Вертикальные асимптоты $y = \tan (\frac{π x}{2})$ находятся в точках $- 1$ , $1$ и в каждой точке $2 n$ , где $n$ ― целое число.

$x = 1 + 2 n$

Этап 9

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 1 + 2 n$ , где $n$ — целое число

Этап 10