Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{2 - e^{3 x + 1}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{1 + x^{2}}{2 - e^{3 x + 1}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 - e^{3 x + 1} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- e^{3 x + 1} = - 2$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- e^{3 x + 1} = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- e^{3 x + 1} = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{3 x + 1}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{3 x + 1}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $e^{3 x + 1}$ на $1$ .

$e^{3 x + 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$e^{3 x + 1} = 2$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{3 x + 1}) = \ln (2)$

Этап 2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Развернем $\ln (e^{3 x + 1})$ , вынося $3 x + 1$ из логарифма.

$(3 x + 1) \ln (e) = \ln (2)$

Этап 2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(3 x + 1) \cdot 1 = \ln (2)$

Этап 2.4.3

Умножим $3 x + 1$ на $1$ .

$3 x + 1 = \ln (2)$

Этап 2.5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = \ln (2) - 1$

Этап 2.6

Разделим каждый член $3 x = \ln (2) - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $3 x = \ln (2) - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (2)}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (2)}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 2.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{\ln (2)}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{\ln (2)}{3} - \frac{1}{3}) \cup (\frac{\ln (2)}{3} - \frac{1}{3}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq \frac{\ln (2)}{3} - \frac{1}{3}}$

Этап 4