Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ в виде уравнения.

$y = 10 \sqrt[4]{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 10 \sqrt[4]{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $10 \sqrt[4]{y} = x$ .

$10 \sqrt[4]{y} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $10 \sqrt[4]{y} = x$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $10 \sqrt[4]{y} = x$ на $10$ .

$\frac{10 \sqrt[4]{y}}{10} = \frac{x}{10}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 \sqrt[4]{y}}{10} = \frac{x}{10}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\sqrt[4]{y}$ на $1$ .

$\sqrt[4]{y} = \frac{x}{10}$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{4}}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(\frac{x}{10})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{10}$ .

$y = \frac{x^{4}}{10^{4}}$

Этап 3.4.3.1.2

Возведем $10$ в степень $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{10000}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$ обратной к $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{{(10 \sqrt[4]{x})}^{4}}{10000}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $10 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10^{4} {\sqrt[4]{x}}^{4}}{10000}$

Этап 5.2.3.2

Возведем $10$ в степень $4$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 {\sqrt[4]{x}}^{4}}{10000}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{4}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{10000}$

Этап 5.2.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{10000}$

Этап 5.2.3.3.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{4}{4}}}{10000}$

Этап 5.2.3.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{4}{4}}}{10000}$

Этап 5.2.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Этап 5.2.3.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $10000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{4}}{10000})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10000}}$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10000}}$

Этап 5.3.4

Перепишем $10000$ в виде $10^{4}$ .

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10^{4}}}$

Этап 5.3.5

Перепишем $\frac{x^{4}}{10^{4}}$ в виде ${(\frac{x}{10})}^{4}$ .

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{{(\frac{x}{10})}^{4}}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$ — обратная к $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$