Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} + 2$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{3} + 2$ в виде уравнения.

$y = x^{3} + 2$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{3} + 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{3} + 2 = x$ .

$y^{3} + 2 = x$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y^{3} = x - 2$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{x - 2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 2}$ обратной к $f (x) = x^{3} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (x^{3} + 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{3} + 2) = \sqrt[3]{(x^{3} + 2) - 2}$

Этап 5.2.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (x^{3} + 2) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Этап 5.2.4

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (x^{3} + 2) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (x^{3} + 2) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{x - 2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 2}) = {(\sqrt[3]{x - 2})}^{3} + 2$

Этап 5.3.3

Перепишем ${\sqrt[3]{x - 2}}^{3}$ в виде $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 2}) = {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 2$

Этап 5.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 2$

Этап 5.3.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} + 2$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} + 2$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{x - 2}) = (x - 2) + 2$

Этап 5.3.3.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{x - 2}) = x - 2 + 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\sqrt[3]{x - 2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 2}$ — обратная к $f (x) = x^{3} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 2}$