Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 10$ $g (x) = - 2 x - 3$ Find: $f (g (x))$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (g (x))$

Этап 2

Найдем значение $f (- 2 x - 3)$ , подставив значение $g$ в $f$ .

$f (- 2 x - 3) = 2 {(- 2 x - 3)}^{2} - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(- 2 x - 3)}^{2}$ в виде $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ .

$f (- 2 x - 3) = 2 ((- 2 x - 3) (- 2 x - 3)) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.2

Развернем $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 x - 3) = 2 (- 2 x (- 2 x - 3) - 3 (- 2 x - 3)) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 x - 3) = 2 (- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x - 3)) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 x - 3) = 2 (- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (- 2 x - 3) = 2 (- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f (- 2 x - 3) = 2 (- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (- 2 x - 3) = 2 (- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2 x - 3) = 2 (4 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$f (- 2 x - 3) = 2 (4 x^{2} + 6 x - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$f (- 2 x - 3) = 2 (4 x^{2} + 6 x + 6 x - 3 \cdot - 3) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f (- 2 x - 3) = 2 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.3.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$f (- 2 x - 3) = 2 (4 x^{2} + 12 x + 9) - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 x - 3) = 2 (4 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 \cdot 9 - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f (- 2 x - 3) = 8 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 9 - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.5.2

Умножим $12$ на $2$ .

$f (- 2 x - 3) = 8 x^{2} + 24 x + 2 \cdot 9 - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.5.3

Умножим $2$ на $9$ .

$f (- 2 x - 3) = 8 x^{2} + 24 x + 18 - 5 (- 2 x - 3) + 10$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 x - 3) = 8 x^{2} + 24 x + 18 - 5 (- 2 x) - 5 \cdot - 3 + 10$

Этап 3.7

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$f (- 2 x - 3) = 8 x^{2} + 24 x + 18 + 10 x - 5 \cdot - 3 + 10$

Этап 3.8

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$f (- 2 x - 3) = 8 x^{2} + 24 x + 18 + 10 x + 15 + 10$

Этап 4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $24 x$ и $10 x$ .

$f (- 2 x - 3) = 8 x^{2} + 34 x + 18 + 15 + 10$

Этап 4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $18$ и $15$ .

$f (- 2 x - 3) = 8 x^{2} + 34 x + 33 + 10$

Этап 4.2.2

Добавим $33$ и $10$ .

$f (- 2 x - 3) = 8 x^{2} + 34 x + 43$