Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - x^{3}$ , $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

Этап 1

Вычислим числитель в $\frac{f (a + h) - f a}{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $a + h$ .

$f (a + h) = - {(a + h)}^{3}$

Этап 1.2

Заменим обозначения функций в $f (a + h) - f a$ фактическими функциями.

$(- {(a + h)}^{3}) + x^{3} a$

Этап 1.3

Упростим $(- {(a + h)}^{3}) + x^{3} a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$- (a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}) + x^{3} a$

Этап 1.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- a^{3} - (3 a^{2} h) - (3 a h^{2}) - h^{3} + x^{3} a$

Этап 1.3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- a^{3} - 3 (a^{2} h) - (3 a h^{2}) - h^{3} + x^{3} a$

Этап 1.3.1.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- a^{3} - 3 (a^{2} h) - 3 (a h^{2}) - h^{3} + x^{3} a$

Этап 1.3.1.4

Избавимся от скобок.

$- a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3} + x^{3} a$

Этап 1.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Изменим порядок $x^{3}$ и $a$ .

$- a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3} + a x^{3}$

Этап 1.3.2.2

Перенесем $- h^{3}$ .

$- a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} + a x^{3} - h^{3}$

Этап 1.3.2.3

Перенесем $- 3 a h^{2}$ .

$- a^{3} - 3 a^{2} h + a x^{3} - 3 a h^{2} - h^{3}$

Этап 1.3.2.4

Перенесем $- 3 a^{2} h$ .

$- a^{3} + a x^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}$

Этап 1.3.2.5

Изменим порядок $- a^{3}$ и $a x^{3}$ .

$a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}$

Этап 2

Перепишем $\frac{f (a + h) - f a}{h}$ .

$\frac{a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}}{h}$