Основы мат. анализа Примеры

$x^{3}$

Этап 1

Запишем $x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = x^{3}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{3}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3}$

Этап 3.2.2

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3}$

Этап 3.2.3

Перенесем $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3}$

Этап 3.2.4

Перенесем $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3}$

Этап 3.2.5

Изменим порядок $3 h^{2} x$ и $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3}$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3}$

$f (x) = x^{3}$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3}$

$f (x) = x^{3}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - (x^{3})}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Этап 5.1.2

Добавим $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $h$ из $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Этап 5.1.3.2

Вынесем множитель $h$ из $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Этап 5.1.3.3

Вынесем множитель $h$ из $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Этап 5.1.3.4

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Этап 5.1.3.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Этап 5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ на $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перенесем $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.2

Перенесем $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Этап 5.2.2.3

Изменим порядок $3 x h$ и $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Этап 6