Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.1.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Этап 5.1.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Этап 5.1.3

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

Этап 5.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{1}{x + h}$ и $b = \frac{1}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 5.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 5.1.5.2

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 5.1.5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.3.1

Умножим $\frac{1}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 5.1.5.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 5.1.5.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$\frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 5.1.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 5.1.5.5

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 5.1.5.6

Чтобы записать $\frac{1}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Этап 5.1.5.7

Чтобы записать $- \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Этап 5.1.5.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.8.1

Умножим $\frac{1}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Этап 5.1.5.8.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Этап 5.1.5.8.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Этап 5.1.5.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.5.10

Перепишем $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.5.10.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.5.10.3

Вычтем $h$ из $0$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot - 1 \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Этап 5.1.7.2

Умножим $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ на $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Этап 5.1.7.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.7.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x^{1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.7.7

Возведем $x + h$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h}$

Этап 5.1.7.8

Возведем $x + h$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h}$

Этап 5.1.7.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Этап 5.1.7.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 5.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ в числитель.

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 6