Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ не определено.

$x = - \sqrt{3}, x = \sqrt{3}$

Этап 2

Поскольку $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ слева, а $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ справа, то $x = - \sqrt{3}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 3

Поскольку $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ слева, а $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ справа, то $x = \sqrt{3}$ — вертикальная асимптота.

$x = \sqrt{3}$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) + 3}$

Этап 8.1.2

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) - 1 (- 3)}$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2} - 3)}$

Этап 8.1.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Перепишем $- (x^{2} - 3)$ в виде $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- 1 (x^{2} - 3)}$

Этап 8.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{x^{2} - 3}$

Этап 8.2

Развернем $- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Изменим знак $2 x^{3} + 4 x^{2} - 9$ на противоположный.

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)}{x^{2} - 3}$

Этап 8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Этап 8.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Этап 8.2.5

Избавимся от скобок.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Этап 8.2.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Этап 8.2.7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Этап 8.2.8

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Этап 8.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

Этап 8.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

						-	$2 x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

Этап 8.5

Умножим новое частное на делитель.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

$2 x^{3}$

$0$

$6 x$

Этап 8.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{3} + 0 + 6 x$ .

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$

Этап 8.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 8.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Этап 8.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Этап 8.10

Умножим новое частное на делитель.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$12$

Этап 8.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 0 + 12$ .

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$

Этап 8.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$
									-	$6 x$	-	$3$

Этап 8.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- 2 x - 4 + \frac{- 6 x - 3}{x^{2} - 3}$

Этап 8.14

Разобьем решение на многочлен и остаток.

$- 2 x - 4 + \frac{6 x + 3}{- x^{2} + 3}$

Этап 8.15

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - 2 x - 4$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - 2 x - 4$

Этап 10