Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ , $x + 2$

Этап 1

Разделим $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ , используя схему Горнера, и проверим, равен ли остаток $0$ . Если остаток равен $0$ , это означает, что $x + 2$ является множителем для $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ . Если остаток не равен $0$ , это означает, что $x + 2$ не является множителем для $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

Этап 1.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

	$1$

Этап 1.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$

Этап 1.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$	$0$

Этап 1.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$

Этап 1.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Этап 1.7

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 8)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Этап 1.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Этап 1.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 8)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(16)$ под следующим членом делимого $(- 16)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Этап 1.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$	$0$

Этап 1.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x - 8$

Этап 1.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} - 8$

Этап 2

Остаток от деления $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ равен $0$ , значит, $x + 2$ является делителем $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ .

$x + 2$ — множитель для $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$

Этап 3

Найдем все возможные корни для $x^{3} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Этап 4

Выпишем следующее деление, чтобы определить, является ли $x - 2$ множителем полинома $x^{3} - 8$ .

$\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Этап 5

Разделим выражение с помощью схемы Горнера, чтобы определить, является ли оно делителем многочлена. Поскольку $x^{3} - 8$ делится без остатка на $x - 2$ , то $x - 2$ является делителем этого многочлена. Остается многочлен $x^{2} + 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Этап 5.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

	$1$

Этап 5.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$

Этап 5.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$	$2$

Этап 5.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

Этап 5.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$4$

Этап 5.7

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(8)$ под следующим членом делимого $(- 8)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$

Этап 5.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$	$0$

Этап 5.9

$1 x^{2} + 2 x + 4$

Этап 5.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 2 x + 4$

Этап 6

Найдем все возможные корни для $x^{2} + 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 6.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 7

Последний множитель ― это единственный множитель, остающийся при разложении многочлена по схеме Горнера.

$x^{2} + 2 x + 4$

Этап 8

Многочлен, разложенный на множители: $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$