Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 8 x^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 8 x^{7}$ в виде уравнения.

$y = 8 x^{7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 8 y^{7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $8 y^{7} = x$ .

$8 y^{7} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $8 y^{7} = x$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $8 y^{7} = x$ на $8$ .

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $y^{7}$ на $1$ .

$y^{7} = \frac{x}{8}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{8}}$

Этап 3.4

Перепишем $\sqrt[7]{\frac{x}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ обратной к $f (x) = 8 x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (8 x^{7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \frac{\sqrt[7]{8 x^{7}}}{\sqrt[7]{8}}$

Этап 5.2.3

Объединим $\sqrt[7]{8 x^{7}}$ и $\sqrt[7]{8}$ под одним знаком корня.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Этап 5.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим выражение $\frac{8 x^{7}}{8}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Этап 5.2.4.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x^{7}$ на $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Этап 5.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})}^{7}$

Этап 5.3.3

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Этап 5.3.4.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Этап 5.3.5

Перепишем ${\sqrt[7]{8}}^{7}$ в виде $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{8}$ в виде $8^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{(8^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

Этап 5.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

Этап 5.3.5.3

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

Этап 5.3.5.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

Этап 5.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Этап 5.3.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ — обратная к $f (x) = 8 x^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$