Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(x + 7)}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(x + 7)}^{5}$ в виде уравнения.

$y = {(x + 7)}^{5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(y + 7)}^{5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(y + 7)}^{5} = x$ .

${(y + 7)}^{5} = x$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y + 7 = \sqrt[5]{x}$

Этап 3.3

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$y = \sqrt[5]{x} - 7$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 7$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 7$ обратной к $f (x) = {(x + 7)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(x + 7)}^{5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x + 7)}^{5}) = \sqrt[5]{{(x + 7)}^{5}} - 7$

Этап 5.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} ({(x + 7)}^{5}) = \sqrt[5]{{(x + 7)}^{5}} - 7$

Этап 5.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} ({(x + 7)}^{5}) = x + 7 - 7$

Этап 5.2.5

Объединим противоположные члены в $x + 7 - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f^{- 1} ({(x + 7)}^{5}) = x + 0$

Этап 5.2.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(x + 7)}^{5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[5]{x} - 7)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[5]{x} - 7) = {((\sqrt[5]{x} - 7) + 7)}^{5}$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $(\sqrt[5]{x} - 7) + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f (\sqrt[5]{x} - 7) = {(\sqrt[5]{x} + 0)}^{5}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\sqrt[5]{x}$ и $0$ .

$f (\sqrt[5]{x} - 7) = {\sqrt[5]{x}}^{5}$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{x} - 7) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{x} - 7) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f (\sqrt[5]{x} - 7) = x^{\frac{5}{5}}$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{x} - 7) = x^{\frac{5}{5}}$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[5]{x} - 7) = x$

Этап 5.3.4.5

Упростим.

$f (\sqrt[5]{x} - 7) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 7$ — обратная к $f (x) = {(x + 7)}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 7$