Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 2 x^{3} + 6 x - 2$ , $[- 2, 2]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = - 2 x^{3} + 6 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 2, 2]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{3} + 6 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.2.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$- 6 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 6 x^{2} + 6 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $- 6 x^{2} + 6$ и $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{2} + 6$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 6 x^{2} + 6$ .

$- 6 x^{2} + 6$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(- 2, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(- 2, 2)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(- 2, 2)$ , поскольку производная является непрерывной на $(- 2, 2)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[- 2, 2]$ , дифференцируемое в области $(- 2, 2)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 2, 2]$ , дифференцируемое в области $(- 2, 2)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[- 2, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{3} + 6 (- 2) - 2$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.1

Возведем $- 2$ в степень $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{3} + 6 (- 2) - 2$

Этап 7.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 3} + 6 (- 2) - 2$

Этап 7.2.1.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} + 6 (- 2) - 2$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f (- 2) = 16 + 6 (- 2) - 2$

Этап 7.2.1.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 12 - 2$

Этап 7.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $12$ из $16$ .

$f (- 2) = 4 - 2$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$f (- 2) = 2$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[- 2, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - 2 {(2)}^{3} + 6 (2) - 2$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = - 2 \cdot 8 + 6 (2) - 2$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 2$ на $8$ .

$f (2) = - 16 + 6 (2) - 2$

Этап 8.2.1.3

Умножим $6$ на $2$ .

$f (2) = - 16 + 12 - 2$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $- 16$ и $12$ .

$f (2) = - 4 - 2$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$f (2) = - 6$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 9

Решим $- 6 x^{2} + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $- 6 x^{2} + 6 = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $\frac{(- 6) - (2)}{(2) - (- 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Сократим общий множитель $(- 6) - (2)$ и $(2) - (- 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.1

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (6) - (2)}{(2) - (- 2)}$

Этап 9.1.1.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (6) - (2)$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (6 + 2)}{(2) - (- 2)}$

Этап 9.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (6 + 2)$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 - (- 2)}$

Этап 9.1.1.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1) - (- 2)}$

Этап 9.1.1.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- (- 2)$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1) + 2 (- (- 1))}$

Этап 9.1.1.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- (- 1))$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1 - (- 1))}$

Этап 9.1.1.1.4.4

Сократим общий множитель.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1 - (- 1))}$

Этап 9.1.1.1.4.5

Перепишем это выражение.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (3 + 1)}{1 - (- 1)}$

Этап 9.1.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{1 - (- 1)}$

Этап 9.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{1 + 1}$

Этап 9.1.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{2}$

Этап 9.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 4}{2}$

Этап 9.1.3.2

Разделим $- 4$ на $2$ .

$- 6 x^{2} + 6 = - 2$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- 6 x^{2} = - 2 - 6$

Этап 9.2.2

Вычтем $6$ из $- 2$ .

$- 6 x^{2} = - 8$

Этап 9.3

Разделим каждый член $- 6 x^{2} = - 8$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим каждый член $- 6 x^{2} = - 8$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 8}{- 6}$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 8}{- 6}$

Этап 9.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 6}$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 8$ .

$x^{2} = \frac{- 2 (4)}{- 6}$

Этап 9.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6$ .

$x^{2} = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 3}$

Этап 9.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 3}$

Этап 9.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Этап 9.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 9.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 9.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 9.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 9.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 9.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 9.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 9.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = - 2$ и $b = 2$ , находится в точке $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Касательная в точке $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = - 2$ и $b = 2$ .

Этап 11

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = - 2$ и $b = 2$ , находится в точке $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Касательная в точке $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = - 2$ и $b = 2$ .

Этап 12