Основы мат. анализа Примеры

$\frac{m^{2} + m - m n - n}{m^{2} + m + m n + n} \div \frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{m^{2} + m - m n - n}{m^{2} + m + m n + n}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$m^{2} + m + m n + n = 0$

Этап 2

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1 + n$ и $c = n$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $m$ .

$\frac{- (1 + n) \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 \cdot 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.3

Перепишем ${(1 + n)}^{2}$ в виде $(1 + n) (1 + n)$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{(1 + n) (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.4

Развернем $(1 + n) (1 + n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 (1 + n) + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5.1.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5.1.3

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5.1.4

Умножим $n$ на $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5.2

Добавим $n$ и $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.7

Вычтем $4 n$ из $2 n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.8

Изменим порядок членов.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Этап 2.3.1.9.3

Перепишем многочлен.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.9.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = n$ и $b = 1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2}$

Этап 2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 \cdot 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.3

Перепишем ${(1 + n)}^{2}$ в виде $(1 + n) (1 + n)$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{(1 + n) (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4

Развернем $(1 + n) (1 + n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 (1 + n) + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.5.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5.1.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5.1.3

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5.1.4

Умножим $n$ на $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5.2

Добавим $n$ и $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.7

Вычтем $4 n$ из $2 n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.8

Изменим порядок членов.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Этап 2.4.1.9.3

Перепишем многочлен.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.9.4

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2}$

Этап 2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$m = \frac{- 1 - n + n - 1}{2}$

Этап 2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$m = \frac{- n + n - 2}{2}$

Этап 2.4.4.2

Добавим $- n$ и $n$ .

$m = \frac{0 - 2}{2}$

Этап 2.4.4.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$m = \frac{- 2}{2}$

Этап 2.4.5

Разделим $- 2$ на $2$ .

$m = - 1$

Этап 2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 \cdot 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.3

Перепишем ${(1 + n)}^{2}$ в виде $(1 + n) (1 + n)$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{(1 + n) (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4

Развернем $(1 + n) (1 + n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 (1 + n) + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.5.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5.1.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5.1.3

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5.1.4

Умножим $n$ на $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5.2

Добавим $n$ и $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.7

Вычтем $4 n$ из $2 n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.8

Изменим порядок членов.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Этап 2.5.1.9.3

Перепишем многочлен.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.9.4

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2}$

Этап 2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$m = \frac{- 1 - n - (n - 1)}{2}$

Этап 2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{- 1 - n - n + 1}{2}$

Этап 2.5.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{- 1 - n - n + 1}{2}$

Этап 2.5.4.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$m = \frac{- n - n + 0}{2}$

Этап 2.5.4.4

Добавим $- n - n$ и $0$ .

$m = \frac{- n - n}{2}$

Этап 2.5.4.5

Вычтем $n$ из $- n$ .

$m = \frac{- 2 n}{2}$

Этап 2.5.5

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 n$ .

$m = \frac{2 (- n)}{2}$

Этап 2.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$m = \frac{2 (- n)}{2 (1)}$

Этап 2.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$m = \frac{2 (- n)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$m = \frac{- n}{1}$

Этап 2.5.5.2.4

Разделим $- n$ на $1$ .

$m = - n$

Этап 2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$m = - 1, - n$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$m^{2} - m + m n - n = 0$

Этап 4

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1 + n$ и $c = - n$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $m$ .

$\frac{- (- 1 + n) \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- n))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3

Перепишем ${(- 1 + n)}^{2}$ в виде $(- 1 + n) (- 1 + n)$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{(- 1 + n) (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4

Развернем $(- 1 + n) (- 1 + n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 (- 1 + n) + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.5.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5.1.2

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - 1 \cdot n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5.1.4

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5.1.5

Умножим $n$ на $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5.2

Вычтем $n$ из $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.6

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.6.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} + 4 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.7

Добавим $- 2 n$ и $4 n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} + 2 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.8

Изменим порядок членов.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Этап 4.3.1.9.3

Перепишем многочлен.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.9.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = n$ и $b = 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(n + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2}$

Этап 4.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.3

Перепишем ${(- 1 + n)}^{2}$ в виде $(- 1 + n) (- 1 + n)$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{(- 1 + n) (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4

Развернем $(- 1 + n) (- 1 + n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 (- 1 + n) + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.5.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5.1.2

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - 1 \cdot n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5.1.4

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5.1.5

Умножим $n$ на $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5.2

Вычтем $n$ из $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.6

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.6.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} + 4 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.7

Добавим $- 2 n$ и $4 n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} + 2 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.8

Изменим порядок членов.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Этап 4.4.1.9.3

Перепишем многочлен.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.9.4

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(n + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2}$

Этап 4.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$m = \frac{1 - n + n + 1}{2}$

Этап 4.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Добавим $1$ и $1$ .

$m = \frac{- n + n + 2}{2}$

Этап 4.4.4.2

Добавим $- n$ и $n$ .

$m = \frac{0 + 2}{2}$

Этап 4.4.4.3

Добавим $0$ и $2$ .

$m = \frac{2}{2}$

Этап 4.4.5

Разделим $2$ на $2$ .

$m = 1$

Этап 4.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Перепишем ${(- 1 + n)}^{2}$ в виде $(- 1 + n) (- 1 + n)$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{(- 1 + n) (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4

Развернем $(- 1 + n) (- 1 + n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 (- 1 + n) + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.5.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5.1.2

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - 1 \cdot n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5.1.4

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5.1.5

Умножим $n$ на $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5.2

Вычтем $n$ из $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.6.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} + 4 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.7

Добавим $- 2 n$ и $4 n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} + 2 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.8

Изменим порядок членов.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Этап 4.5.1.9.3

Перепишем многочлен.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.9.4

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(n + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2}$

Этап 4.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$m = \frac{1 - n - (n + 1)}{2}$

Этап 4.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 - n - n - 1 \cdot 1}{2}$

Этап 4.5.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$m = \frac{1 - n - n - 1}{2}$

Этап 4.5.4.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$m = \frac{- n - n + 0}{2}$

Этап 4.5.4.4

Добавим $- n - n$ и $0$ .

$m = \frac{- n - n}{2}$

Этап 4.5.4.5

Вычтем $n$ из $- n$ .

$m = \frac{- 2 n}{2}$

Этап 4.5.5

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 n$ .

$m = \frac{2 (- n)}{2}$

Этап 4.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$m = \frac{2 (- n)}{2 (1)}$

Этап 4.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$m = \frac{2 (- n)}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$m = \frac{- n}{1}$

Этап 4.5.5.2.4

Разделим $- n$ на $1$ .

$m = - n$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$m = 1, - n$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{m^{2} + m - m n - n}{m^{2} + m + m n + n} \div \frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n} = 0$

Этап 6

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$m^{2} - m - m n + n = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1 - n$ и $c = n$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $m$ .

$\frac{- (- 1 - n) \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot n)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Умножим $- - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + 1 n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем ${(- 1 - n)}^{2}$ в виде $(- 1 - n) (- 1 - n)$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{(- 1 - n) (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5

Развернем $(- 1 - n) (- 1 - n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 (- 1 - n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.6.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6.1.2

Умножим $- 1 (- n)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.6.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 1 n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6.1.2.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6.1.3

Умножим $- n \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.6.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + 1 n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6.1.3.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n \cdot n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6.1.5

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.6.1.5.1

Перенесем $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 (n \cdot n)) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6.1.5.2

Умножим $n$ на $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + 1 n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6.1.7

Умножим $n^{2}$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6.2

Добавим $n$ и $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.8

Вычтем $4 n$ из $2 n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.9

Изменим порядок членов.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.10

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.10.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.10.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Этап 6.2.3.1.10.3

Перепишем многочлен.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.10.4

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.11

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.3

Умножим $- - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + 1 n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.3.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.4

Перепишем ${(- 1 - n)}^{2}$ в виде $(- 1 - n) (- 1 - n)$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{(- 1 - n) (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.5

Развернем $(- 1 - n) (- 1 - n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 (- 1 - n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.6.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6.1.2

Умножим $- 1 (- n)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.6.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 1 n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6.1.2.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6.1.3

Умножим $- n \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.6.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + 1 n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6.1.3.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n \cdot n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6.1.5

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.6.1.5.1

Перенесем $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 (n \cdot n)) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6.1.5.2

Умножим $n$ на $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + 1 n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6.1.7

Умножим $n^{2}$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6.2

Добавим $n$ и $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.8

Вычтем $4 n$ из $2 n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.9

Изменим порядок членов.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.10

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.10.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.10.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Этап 6.2.4.1.10.3

Перепишем многочлен.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.10.4

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.11

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2}$

Этап 6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$m = \frac{1 + n + n - 1}{2}$

Этап 6.2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$m = \frac{n + n + 0}{2}$

Этап 6.2.4.4.2

Добавим $n + n$ и $0$ .

$m = \frac{n + n}{2}$

Этап 6.2.4.4.3

Добавим $n$ и $n$ .

$m = \frac{2 n}{2}$

Этап 6.2.4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.5.1

Сократим общий множитель.

$m = \frac{2 n}{2}$

Этап 6.2.4.5.2

Разделим $n$ на $1$ .

$m = n$

Этап 6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.3

Умножим $- - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + 1 n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.3.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.4

Перепишем ${(- 1 - n)}^{2}$ в виде $(- 1 - n) (- 1 - n)$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{(- 1 - n) (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.5

Развернем $(- 1 - n) (- 1 - n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 (- 1 - n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.6.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6.1.2

Умножим $- 1 (- n)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.6.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 1 n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6.1.2.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6.1.3

Умножим $- n \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.6.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + 1 n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6.1.3.2

Умножим $n$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n \cdot n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6.1.5

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.6.1.5.1

Перенесем $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 (n \cdot n)) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6.1.5.2

Умножим $n$ на $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + 1 n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6.1.7

Умножим $n^{2}$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6.2

Добавим $n$ и $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.8

Вычтем $4 n$ из $2 n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.9

Изменим порядок членов.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.10

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.10.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.10.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Этап 6.2.5.1.10.3

Перепишем многочлен.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.10.4

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.11

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2}$

Этап 6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$m = \frac{1 + n - (n - 1)}{2}$

Этап 6.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m = \frac{1 + n - n + 1}{2}$

Этап 6.2.5.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = \frac{1 + n - n + 1}{2}$

Этап 6.2.5.4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$m = \frac{n - n + 2}{2}$

Этап 6.2.5.4.4

Вычтем $n$ из $n$ .

$m = \frac{0 + 2}{2}$

Этап 6.2.5.4.5

Добавим $0$ и $2$ .

$m = \frac{2}{2}$

Этап 6.2.5.5

Разделим $2$ на $2$ .

$m = 1$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$m = n, 1$

Этап 7

Область определения ― это все значения $m$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${m | m \neq 1, - 1, m \neq - n, m \neq n}$ , для любого целого $n$