Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + \frac{3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Этап 2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Этап 2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x + 3 \cdot - 2}{x - 2} \geq 0$

Этап 2.1.3.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x - 6}{x - 2} \geq 0$

Этап 2.1.3.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x - 2} \geq 0$

Этап 2.1.3.4

Разложим $x^{2} + 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4$

Этап 2.1.3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x - 2} \geq 0$

Этап 2.2

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = - 4$

$x = 2$

Этап 2.7

Объединим решения.

$x = 1, - 4, 2$

Этап 2.8

Найдем область определения $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 2.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Этап 2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.10.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2}{(- 6) - 2} + 3 \geq 0$

Этап 2.10.1.3

Левая часть $- 1.75$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.10.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} + 2}{(0) - 2} + 3 \geq 0$

Этап 2.10.2.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.10.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.5$

Этап 2.10.3.2

Заменим $x$ на $1.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(1.5)}^{2} + 2}{(1.5) - 2} + 3 \geq 0$

Этап 2.10.3.3

Левая часть $- 5.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.10.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.10.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2} + 2}{(4) - 2} + 3 \geq 0$

Этап 2.10.4.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 1$ Истина

$1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 1$ Истина

$1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 \leq x \leq 1$ или $x > 2$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 4, 1] \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | - 4 \leq x \leq 1, x > 2}$

Этап 6