Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ не определено.

$x = 3, x = 5$

Этап 2

Поскольку $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $5$ слева, а $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $5$ справа, то $x = 5$ — вертикальная асимптота.

$x = 5$

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим $x^{2} - 8 x + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $- 8$ .

$- 5, - 3$

Этап 6.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{(x - 5) (x - 3)}$

Этап 6.2

Развернем $(x - 5) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x (x - 3) - 5 (x - 3)}$

Этап 6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 5 (x - 3)}$

Этап 6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Этап 6.2.4

Изменим порядок $x$ и $- 3$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Этап 6.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Этап 6.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Этап 6.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{1 + 1} - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Этап 6.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Этап 6.2.9

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 3 x - 5 x + 15}$

Этап 6.2.10

Вычтем $5 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 8 x + 15}$

Этап 6.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

Этап 6.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

Этап 6.5

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

Этап 6.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 8 x^{2} + 15 x$ .

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

Этап 6.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

$13 x^{2}$

$32 x$

Этап 6.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

						$x$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$

Этап 6.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $13 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$

Этап 6.10

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$13$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

$13 x^{2}$

$32 x$

$21$

$13 x^{2}$

$104 x$

$195$

Этап 6.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $13 x^{2} - 104 x + 195$ .

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$
							-	$13 x^{2}$	+	$104 x$	-	$195$

Этап 6.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$
							-	$13 x^{2}$	+	$104 x$	-	$195$
									+	$72 x$	-	$216$

Этап 6.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + 13 + \frac{72 x - 216}{x^{2} - 8 x + 15}$

Этап 6.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x + 13$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 5$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x + 13$

Этап 8