Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{1 + \ln (x)}$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 + \ln (x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 + \ln (x) \geq 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем неравенство в равенство.

$1 + \ln (x) = 0$

Этап 3.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x) = - 1$

Этап 3.2.2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Этап 3.2.3

Перепишем $\ln (x) = - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Этап 3.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Этап 3.2.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Этап 3.3

Найдем область определения $1 + \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 3.3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 3.4

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \geq \frac{1}{e}$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[\frac{1}{e}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq \frac{1}{e}}$

Этап 5