Основы мат. анализа Примеры

$\frac{y^{2} - 5 y + 4}{y^{2} - 1} \div \frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{y^{2} - 5 y + 4}{y^{2} - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$y^{2} - 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = 1$

Этап 2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \pm 1$

Этап 2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 1$

Этап 2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 1$

Этап 2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 1, - 1$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$y^{2} + 5 y + 4 = 0$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $y^{2} + 5 y + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $5$ .

$1, 4$

Этап 4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y + 1) (y + 4) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y + 1 = 0$

$y + 4 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 4.4

Приравняем $y + 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $y + 4$ к $0$ .

$y + 4 = 0$

Этап 4.4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = - 4$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y + 1) (y + 4) = 0$ верно.

$y = - 1, - 4$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{y^{2} - 5 y + 4}{y^{2} - 1} \div \frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4} = 0$

Этап 6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$y^{2} - 9 = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = 9$

Этап 6.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{9}$

Этап 6.2.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 6.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 3$

Этап 6.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 3$

Этап 6.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 3$

Этап 6.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 3, - 3$

Этап 7

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \neq 1, - 1, 3, - 3, - 4}$

Этап 8