Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - 7 x - 4$ $g (x) = 2 x - 4$ Find: $f (g (x))$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (g (x))$

Этап 2

Найдем значение $f (2 x - 4)$ , подставив значение $g$ в $f$ .

$f (2 x - 4) = 2 {(2 x - 4)}^{2} - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(2 x - 4)}^{2}$ в виде $(2 x - 4) (2 x - 4)$ .

$f (2 x - 4) = 2 ((2 x - 4) (2 x - 4)) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.2

Развернем $(2 x - 4) (2 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (2 x - 4) = 2 (2 x (2 x - 4) - 4 (2 x - 4)) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (2 x - 4) = 2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x - 4)) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (2 x - 4) = 2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (2 x - 4) = 2 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f (2 x - 4) = 2 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (2 x - 4) = 2 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2 x - 4) = 2 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (2 x - 4) = 2 (4 x^{2} - 8 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.3.1.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f (2 x - 4) = 2 (4 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 4) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f (2 x - 4) = 2 (4 x^{2} - 8 x - 8 x + 16) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.3.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$f (2 x - 4) = 2 (4 x^{2} - 16 x + 16) - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (2 x - 4) = 2 (4 x^{2}) + 2 (- 16 x) + 2 \cdot 16 - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f (2 x - 4) = 8 x^{2} + 2 (- 16 x) + 2 \cdot 16 - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.5.2

Умножим $- 16$ на $2$ .

$f (2 x - 4) = 8 x^{2} - 32 x + 2 \cdot 16 - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.5.3

Умножим $2$ на $16$ .

$f (2 x - 4) = 8 x^{2} - 32 x + 32 - 7 (2 x - 4) - 4$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (2 x - 4) = 8 x^{2} - 32 x + 32 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 4 - 4$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $- 7$ .

$f (2 x - 4) = 8 x^{2} - 32 x + 32 - 14 x - 7 \cdot - 4 - 4$

Этап 3.8

Умножим $- 7$ на $- 4$ .

$f (2 x - 4) = 8 x^{2} - 32 x + 32 - 14 x + 28 - 4$

Этап 4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $14 x$ из $- 32 x$ .

$f (2 x - 4) = 8 x^{2} - 46 x + 32 + 28 - 4$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $32$ и $28$ .

$f (2 x - 4) = 8 x^{2} - 46 x + 60 - 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $4$ из $60$ .

$f (2 x - 4) = 8 x^{2} - 46 x + 56$