Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(x - 1)}^{2} + 3$ find $\frac{f (x + 2) - f (x - 2)}{x - 1}$

Этап 1

Вычислим числитель в $\frac{f (x + 2) - f (x - 2)}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + 2$ .

$f (x + 2) = {((x + 2) - 1)}^{2} + 3$

Этап 1.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x - 2$ .

$f (x - 2) = {((x - 2) - 1)}^{2} + 3$

Этап 1.3

Заменим обозначения функций в $f (x + 2) - f (x - 2)$ фактическими функциями.

$({((x + 2) - 1)}^{2} + 3) - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$

Этап 1.4

Упростим $({((x + 2) - 1)}^{2} + 3) - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вычтем $1$ из $2$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$

Этап 1.4.1.2

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) + 3 - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$

Этап 1.4.1.3

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 1) + 1 (x + 1) + 3 - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$

Этап 1.4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) + 3 - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$

Этап 1.4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + 3 - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$

Этап 1.4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + 3 - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$

Этап 1.4.1.4.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + 3 - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$

Этап 1.4.1.4.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 + 3 - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$

Этап 1.4.1.4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 + 3 - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$

Этап 1.4.1.4.2

Добавим $x$ и $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - ({((x - 2) - 1)}^{2} + 3)$

Этап 1.4.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - ({(x - 3)}^{2} + 3)$

Этап 1.4.1.5.2

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - ((x - 3) (x - 3) + 3)$

Этап 1.4.1.5.3

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - (x (x - 3) - 3 (x - 3) + 3)$

Этап 1.4.1.5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) + 3)$

Этап 1.4.1.5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + 3)$

Этап 1.4.1.5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + 3)$

Этап 1.4.1.5.4.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 + 3)$

Этап 1.4.1.5.4.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - (x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 3)$

Этап 1.4.1.5.4.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - (x^{2} - 6 x + 9 + 3)$

Этап 1.4.1.6

Добавим $9$ и $3$ .

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - (x^{2} - 6 x + 12)$

Этап 1.4.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12$

Этап 1.4.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.8.1

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 12$

Этап 1.4.1.8.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$x^{2} + 2 x + 1 + 3 - x^{2} + 6 x - 12$

Этап 1.4.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 2 x + 1 + 3 - x^{2} + 6 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$2 x + 1 + 3 + 0 + 6 x - 12$

Этап 1.4.2.1.2

Добавим $2 x + 1 + 3$ и $0$ .

$2 x + 1 + 3 + 6 x - 12$

Этап 1.4.2.2

Добавим $2 x$ и $6 x$ .

$8 x + 1 + 3 - 12$

Этап 1.4.2.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Добавим $1$ и $3$ .

$8 x + 4 - 12$

Этап 1.4.2.3.2

Вычтем $12$ из $4$ .

$8 x - 8$

Этап 2

Перепишем $\frac{f (x + 2) - f (x - 2)}{x - 1}$ .

$\frac{8 x - 8}{x - 1}$

Этап 3

Упростим $\frac{8 x - 8}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$\frac{8 (x) - 8}{x - 1}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$\frac{8 (x) + 8 (- 1)}{x - 1}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (x) + 8 (- 1)$ .

$\frac{8 (x - 1)}{x - 1}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (x - 1)}{x - 1}$

Этап 3.2.2

Разделим $8$ на $1$ .

$8$