Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = 1$

$h = - 2$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 2, 1)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

Этап 5.3.3

Добавим $4$ и $9$ .

$\sqrt{13}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, 3)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, - 1)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(- 2, 3), (- 2, - 1)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, 1 + \sqrt{13})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, 1 - \sqrt{13})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(- 2, 1 + \sqrt{13}), (- 2, 1 - \sqrt{13})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

Этап 8.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

Этап 8.3.3

Добавим $4$ и $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{9}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{9}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{13}}^{2}$ в виде $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{13}$ в виде $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

Этап 11.2

Упростим $\frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x + 2) + 1$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

Этап 11.2.1.4

Умножим $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} + 1$

Этап 11.2.1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 1$

Этап 11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 11.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 3}{3}$

Этап 11.2.2.3

Добавим $4$ и $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x + 2) + 1$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- \frac{2}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - 2 (\frac{2}{3}) + 1$

Этап 12.2.1.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} + 1$

Этап 12.2.1.4.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 4}{3} + 1$

Этап 12.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.5.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = - \frac{2 \cdot x}{3} + \frac{- 4}{3} + 1$

Этап 12.2.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 1$

Этап 12.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 12.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 3}{3}$

Этап 12.2.2.3

Добавим $- 4$ и $3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 12.2.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}, y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(- 2, 1)$

Вершины: $(- 2, 3), (- 2, - 1)$

Фокусы: $(- 2, 1 + \sqrt{13}), (- 2, 1 - \sqrt{13})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Фокальный параметр: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Асимптоты: $y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 15