Основы мат. анализа Примеры

$\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25} \div \frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$y^{2} - 10 y + 25 = 0$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y^{2} - 10 y + 5^{2} = 0$

Этап 2.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Этап 2.1.3

Перепишем многочлен.

$y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = y$ и $b = 5$ .

${(y - 5)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

Этап 2.3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$y^{2} - 3 y - 10 = 0$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $y^{2} - 3 y - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $- 3$ .

$- 5, 2$

Этап 4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 5) (y + 2) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 2 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

Этап 4.4

Приравняем $y + 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $y + 2$ к $0$ .

$y + 2 = 0$

Этап 4.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = - 2$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 5) (y + 2) = 0$ верно.

$y = 5, - 2$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25} \div \frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10} = 0$

Этап 6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$3 y - 12 = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$3 y = 12$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $3 y = 12$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $3 y = 12$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{12}{3}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{12}{3}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{12}{3}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Разделим $12$ на $3$ .

$y = 4$

Этап 7

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 4) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \neq - 2, 4, 5}$

Этап 8