Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{2} - 6 x + k$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y - x^{2} = - 6 x + k$

Этап 1.1.2

Добавим $6 x$ к обеим частям уравнения.

$y - x^{2} + 6 x = k$

Этап 1.1.3

Вычтем $k$ из обеих частей уравнения.

$y - x^{2} + 6 x - k = 0$

Этап 1.1.4

Перенесем $6 x$ .

$y - x^{2} - k + 6 x = 0$

Этап 1.1.5

Перенесем $y$ .

$- x^{2} - k + y + 6 x = 0$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$d = - 3$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $36$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $9$ .

$e = 9$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 9$

Этап 1.3

Подставим $- {(x - 3)}^{2} + 9$ вместо $- x^{2} + 6 x$ в уравнение $- x^{2} - k + y + 6 x = 0$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 9 - k + y = 0$

Этап 1.4

Перенесем $9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = 0 - 9$

Этап 1.5

Вычтем $9$ из $0$ .

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = - 9$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 3$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(3, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1}$

Этап 5.3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, 1)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, - 1)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(3, 1), (3, - 1)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, \sqrt{2})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, - \sqrt{2})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Этап 8

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 8.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 8.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 8.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 8.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 9

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Этап 10

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$y = 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Этап 10.2

Упростим $1 \cdot (x - (3)) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $1 \cdot (x - (3))$ и $0$ .

$y = 1 \cdot (x - (3))$

Этап 10.2.2

Умножим $x - (3)$ на $1$ .

$y = x - (3)$

Этап 10.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = x - 3$

Этап 11

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = - 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Этап 11.2

Упростим $- 1 \cdot (x - (3)) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Добавим $- 1 \cdot (x - (3))$ и $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - (3))$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3)$

Этап 11.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 3$

Этап 11.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 3$

Этап 11.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y = - x + 3$

Этап 12

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = x - 3, y = - x + 3$

Этап 13

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(3, 0)$

Вершины: $(3, 1), (3, - 1)$

Фокусы: $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Эксцентриситет: $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Фокальный параметр: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Асимптоты: $y = x - 3$ , $y = - x + 3$

Этап 14