Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2 - x - x^{2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 1 \geq 0$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{x + 1}}{2 - x - x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 - x - x^{2} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 - x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Перенесем $2$ .

$- x - x^{2} + 2 = 0$

Этап 4.1.1.1.2

Изменим порядок $- x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 2 = 0$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 2 = 0$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 2 = 0$

Этап 4.1.1.4

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 4.1.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 4.1.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + x) - 1 (- 2)$ .

$- (x^{2} + x - 2) = 0$

Этап 4.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 4.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 4.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, - 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - 1, x \neq 1}$

Этап 6