Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{x}}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 - \sqrt{x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 - \sqrt{x} \geq 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- \sqrt{x} \geq - 2$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(- \sqrt{x})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.5

Упростим.

$x \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x \geq 4$

Этап 3.4

Найдем область определения $2 - \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 3.4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 3.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 3.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 3.6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$2 - \sqrt{- 2} \geq 0$

Этап 3.6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 3.6.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$2 - \sqrt{2} \geq 0$

Этап 3.6.2.3

Левая часть $0.58578643$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.6.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 3.6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$2 - \sqrt{6} \geq 0$

Этап 3.6.3.3

Левая часть $- 0.44948974$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 3.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq 4$

Этап 4

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{x}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{2 - \sqrt{x}} = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 - \sqrt{x}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 - \sqrt{x}}$ в виде ${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим ${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 5.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 - \sqrt{x})}^{1} = 0^{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим.

$2 - \sqrt{x} = 0^{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 - \sqrt{x} = 0$

Этап 5.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{x} = - 2$

Этап 5.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{x})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Упростим ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Применим правило умножения к $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.1.3

Умножим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.2.1.5

Упростим.

$x = {(- 2)}^{2}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = 4$

Этап 6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, 4)$

Обозначение построения множества:

${x | 0 \leq x < 4}$

Этап 7