Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(2 - x)}^{2} + 3$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для ${(2 - x)}^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Перепишем ${(2 - x)}^{2}$ в виде $(2 - x) (2 - x)$ .

$(2 - x) (2 - x) + 3$

Этап 1.1.1.1.2

Развернем $(2 - x) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 - x) - x (2 - x) + 3$

Этап 1.1.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 2 + 2 (- x) - x (2 - x) + 3$

Этап 1.1.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 2 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Этап 1.1.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Этап 1.1.1.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 - 2 x - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Этап 1.1.1.1.3.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 - 2 x - 2 x - x (- x) + 3$

Этап 1.1.1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + 3$

Этап 1.1.1.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + 3$

Этап 1.1.1.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2} + 3$

Этап 1.1.1.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 - 2 x - 2 x + 1 x^{2} + 3$

Этап 1.1.1.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$4 - 2 x - 2 x + x^{2} + 3$

Этап 1.1.1.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$4 - 4 x + x^{2} + 3$

Этап 1.1.1.2

Добавим $4$ и $3$ .

$- 4 x + x^{2} + 7$

Этап 1.1.1.3

Изменим порядок $- 4 x$ и $x^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 7$

Этап 1.1.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 7$

Этап 1.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 1.1.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.1.4.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.1.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 7 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 7 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.5.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 7 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.5.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 7 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.5.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.5.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.5.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 1.1.5.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.5.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = 7 - \frac{4}{1}$

Этап 1.1.5.2.1.1.6.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 7 - 1 \cdot 4$

Этап 1.1.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 7 - 4$

Этап 1.1.5.2.2

Вычтем $4$ из $7$ .

$e = 3$

Этап 1.1.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 2)}^{2} + 3$ .

${(x - 2)}^{2} + 3$

Этап 1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x - 2)}^{2} + 3$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = 2$

$k = 3$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(2, 3)$

Этап 4