Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 8 x} - \frac{\sqrt{x + 1}}{1 - x}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 1 \geq 0$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 8 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} + 2 x^{2} - 8 x = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 2 x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 2 x^{2} - 8 x = 0$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (2 x) - 8 x = 0$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 8 = 0$

Этап 4.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ .

$x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 8 = 0$

Этап 4.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 8$ .

$x (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Этап 4.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 4.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Этап 4.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 2) (x + 4) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, 2, - 4$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{x + 1}}{1 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - x = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - 1, x \neq 0, 1, 2}$

Этап 8